Simulation et Analyse des Files d’Attente – M/M/1, G/M/1, M/G/1

Ce projet Python a pour objectif de simuler et analyser les performances de trois modèles fondamentaux de files d’attente mono-serveur :

• M/M/1 : arrivées et services exponentiels.
• G/M/1 : arrivées générales (uniformes), services exponentiels.
• M/G/1 : arrivées exponentielles, services généraux (Weibull).

Il s’inscrit dans le cadre d’un travail pratique de modélisation et simulation à l’université (L3 Informatique Sécurité, USTHB), et met en œuvre une simulation événementielle discrète pour étudier l’impact de la variabilité sur les temps de réponse et d’attente dans un système.

📂 Structure du projet

.
├── main.py                    # Script principal de simulation
├── simulate_mm1.py           # Implémentation du modèle M/M/1
├── simulate_gm1.py           # Implémentation du modèle G/M/1 (arrivées uniformes)
├── simulate_mg1.py           # Implémentation du modèle M/G/1 (services Weibull)
├── common/
│   ├── simulation_utils.py   # Fonctions utilitaires de simulation
│   └── plot_utils.py         # Fonctions de visualisation des résultats
├── plots/                    # Graphiques générés (.png)
├── results/                  # Résultats bruts (.csv)
└── README.md                 # Documentation du projet

🎯 Objectifs pédagogiques

• Implémenter un simulateur événementiel discret.
• Comparer empiriquement des modèles de files d’attente sous différentes hypothèses.
• Mettre en évidence l’impact de la régularité des arrivées ou de la variabilité des services.
• Valider les simulations en les confrontant aux résultats théoriques du modèle M/M/1.

🧮 Modèles simulés

✅ M/M/1

• Arrivées selon un processus de Poisson (temps inter-arrivées exponentiels).
• Services exponentiels.
• Comparaison avec les résultats théoriques connus : [ W = rac{1}{\mu - \lambda}, \quad W_q = rac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}, \quad ho = rac{\lambda}{\mu} ]

✅ G/M/1

• Arrivées régulières simulées via une loi uniforme.
• Services exponentiels.
• Mise en évidence de la réduction du temps d’attente grâce à la moindre variabilité des arrivées.

✅ M/G/1

• Arrivées exponentielles.
• Services selon une loi de Weibull (modélise la variabilité des services).
• Analyse de l’impact de services irréguliers (queue longue) sur les délais.

⚙️ Paramètres de simulation

Paramètre	Valeur
Nombre de clients	1 000 000
Taux de service ($\mu$)	1.0
Taux d’arrivée ($\lambda$)	De 0.1 à 0.9 (pas de 0.1)
Répétitions	100 par valeur de $\lambda$
Mesures observées	Temps d’attente, temps de réponse, utilisation

📊 Résultats & Visualisation

Les graphiques produits montrent :

✔️ Validation du modèle M/M/1

• Superposition entre les courbes simulées et théoriques.
• Faible erreur absolue (inférieure à 0.02), même pour $\lambda \to 0.9$.

✔️ Comparaison croisée

1. Temps de réponse moyen
   

2. Temps d’attente moyen
   

3. Utilisation du serveur
   

📌 Enseignements clés

• Le modèle G/M/1, avec des arrivées régulières, est le plus performant.
• Le modèle M/G/1 est le plus pénalisé par la variabilité des services.
• Le modèle M/M/1 constitue une référence analytique utile, mais sensible à la saturation.

🧠 Extensions possibles

• Support des modèles multi-serveurs (M/M/s, M/G/s).
• Détection automatique de la phase transitoire.
• Génération de rapports PDF automatisés avec LaTeX.
• Interface interactive avec Streamlit ou Dash pour expérimenter les paramètres.

▶️ Exécution

# Pour simuler et tracer les résultats M/M/1
python main.py --model mm1

# Pour comparer les trois modèles
python main.py --compare all

🧪 Dépendances

• numpy
• pandas
• matplotlib
• scipy

Installation rapide :

pip install -r requirements.txt

👨‍💻 Auteur

Projet réalisé par [Votre Nom] dans le cadre du module Modélisation & Simulation (L3 ING SEC, USTHB 2025).

📄 Licence

Ce projet est distribué sous licence MIT. Vous êtes libre de l’utiliser, modifier ou redistribuer avec attribution.